थोर भारतीय गणिती – भाग ७ – आचार्य ब्रह्मगुप्त

 काही गणितज्ञांचे कार्य असे असते की, त्यांच्या हयातीमध्ये त्यांचे कार्य लोकांच्या फारसे नजरेत भरत नाही. परंतु त्यांच्या मूलभूत संशोधनाचे उपयोजन करून जेव्हा एखादा गणिती आपली विधाने किंवा प्रमेय सिद्ध करून दाखवतो तेव्हा त्या गणितज्ञाचे नाव जगप्रसिद्ध होते. काही गणितींचे अस्तित्व त्यांच्या ग्रंथसंपदा मुळेच असते. आचार्य ब्रह्मगुप्त यांच्याबाबतीत आपल्याला असेच म्हणता येते.

आचार्य ब्रह्मगुप्त यांचा एक सिद्धांत आज प्रचलित पाठ्यपुस्तकांमध्ये टॉलेमीचा सिद्धांत या नावाने अभ्यासला जातो हा सिद्धांत पुढील प्रमाणे आहे.

‘ चक्रीय चौकोनाच्या  संमुख भूज्यांच्या लांबीच्या गुणाकारांची बेरीज ही त्याच चौकोनाच्या दोन्ही करणांच्या लांबीच्या गुणाकार एवढी असते. ‘

           थोर भारतीय गणितज्ञ आणि ज्योतिषशास्त्रज्ञ ब्रह्मगुप्त यांचा जन्म इसवी सन 591 मध्ये गुजरातमध्ये झाला. आचार्य ब्रह्मगुप्त हे व्याघ्रमुख राजाच्या दरबारात सेवा करत होते. त्या राज्याची राजधानी ‘भीनमाल’ येथे होती. आचार्य ब्रह्मगुप्त यांनी वयाच्या 37 व्या वर्षी म्हणजे इसवी सन 628 मध्ये ब्रह्मस्फुट सिद्धांत हा ग्रंथ लिहिला. या ग्रंथात 1020  श्लोक  आणि 24 अध्याय आहेत. त्यांनी वयाच्या 67 व्या वर्षी खंडखाद्यक हा ग्रंथ लिहिला. आचार्य ब्रह्मगुप्त हे ज्योतिर्गणिती वराहमिहीर यांचे शिष्य होय.

            आचार्य ब्रह्मगुप्त यांच्या ग्रंथात अंकगणितातील मूलभूत द्वीपद क्रियांचे नियम, श्रेढी विचार, श्रेधिंची बेरीज यांचे सोदहरण विवेचन आहे. बीजगणितातील समीकरणे, विस्तार सूत्रे, पदावल्या आणि बैजिक राशींचे अवयव याबाबतचा तपशील आहे. संख्यांचे वर्ग करण्याच्या विविध पद्धती आहेत. त्यांच्या ग्रंथात समप्रमाण, व्यस्त प्रमाण, एकमान पद्धती, त्रैराशीके, पंचराशीके, सप्तराशीके, नवमराशिके, इत्यादींचा परिचय विविध उदाहरणांनी करून दिलेला आहे.

             ब्रह्मगुप्त यांच्या ग्रंथाचे वैशिष्ट्य म्हणजे कुट्टकाध्याय होय. प्रचलित भाषेत या कूट प्रश्नांना इंडिटर्मिनेट इक्वेशन्स असे म्हटले जाते. सामान्यतः

 द्वि किंवा बहुवर्ण समिकरणांची संख्या आणि त्यांच्यातील चलांची संख्या समान असते तेव्हा त्यांना एकसामायिक समीकरणे असे म्हणतात. परंतु जेंव्हा समिकरणांची संख्या ही त्यांच्यातील चलांच्या संख्येपेक्षा एकने कमी असते तेंव्हा त्या समिकरणांना प्रचलित भाषेत इंडिटरमिनेट समीकरणे म्हणतात.(प्राचीन भारतीय ग्रंथात मात्र त्या समिकरणांना कुट्टके असे म्हटले आहे )

           ब्रह्मगुप्त यांच्या ग्रंथांचा अभ्यास करण्यासाठी अरब पंडित हिंदुस्थानात आले होते. राजा अब्बाससिद्धी-अल-मन्सूर याने मुद्दाम ब्रह्मगुप्त यांचे ग्रंथ मागून घेऊन त्यांची अरबी भाषेत भाषांतरे करून घेतली होती. अशी इतिहासात नोंद आहे. त्यामुळे भारतातील अंकगणित (दशमान पध्दती ), बीजगणित यांचे ज्ञान अरबी लोकांपर्यंत पोहोचले. आणि त्यानंतर अरबांच्या मार्फत गणिताचे ज्ञान युरोपमध्ये पोचले. आणि त्यानंतर युरोपात गणिताची प्रगती झाली असे निश्चितपणे म्हणता येते.( अंकचिन्हांच्या बाबतही हे सत्य आहे. रोमन संख्याचिन्हांमद्धे शून्य साठी कोणतेही अंकचिन्ह नाही.)

          काही सर्चइंजिन मध्ये अशी माहिती मिळते की, शुन्यचा शोध ब्रह्मगुप्त यांनी लावला. हे जरी वस्तुस्थितीला धरून नसले तरी ‘ शून्य ‘ या संकल्पने बाबत आचार्य ब्रह्मगुप्त यांनी केलेले कार्य निश्चितच परिणामकारक आहे. शून्याचे विविध गुणधर्म आचार्यांच्या ग्रंथातही आढळून येतात.

        आचार्य ब्रम्हगुप्त यांनी सिध्द केलेला पुढील गुणधर्म प्रचलित पाठ्य पुस्तकांमध्ये उपलब्ध आहे.

 (मात्र हे प्रमेय ब्रम्हगुप्त यांचे आहे असा उल्लेख आढळत नाही.) कोणत्याही त्रिकोणाच्या दोन बाजूंच्या लांबीचा गुणाकार हा नेहमी तिसऱ्या बाजूवर काढलेला शिरोलंब आणि त्या त्रिकोणाच्या परिवर्तुळाची त्रिज्या यांचा गुणकाराइतका असतो.

          या प्रमेयच्या सिद्धतेच्या आधारे प्राप्त होणारे पुढील सुत्रही आचार्य ब्रम्हगुप्तांच्या नावाने शिकविले जात नाही.

   ∆ चे क्षेत्रफळ हे नेहमी त्याच्या तिन्ही बाजूंच्या लांबीचा गुणाकार भागीले त्याच्या परिवर्तुळाच्या त्रिज्येची चौपट इतके असते.

     ब्राह्मगुप्तांनी चक्रीय चौकोनाच्या क्षेत्रफळाचे जे सूत्र शोधून काढले होते. ते आता ( ब्राम्हगुप्त यांच्या नंतर सुमारे एक हजार वर्षांनंतर जन्मलेल्या ) हिरोच्या नावाने ओळखले जाते.

      तसेच एखाद्या त्रिकोणाच्या तीन बाजूंची लांबी पूर्णांकात असेल , त्या त्रिकोणाची उंचीही पूर्णांक संख्या असेल आणि त्याचे क्षेत्रफळही पूर्णांक संख्या असेल तर त्या त्रिकोणाच्या प्रचलित भाषेत ‘ हिरोचा त्रिकोण ‘ असे म्हणतात. परंतु हिरोच्या पूर्वी कित्येक वर्षे आधी ब्राम्हगुप्त यांनी त्यांच्या ग्रंथामद्धे आशा अनेक त्रिकोणांची आणि चक्रीय चौकोनांची उदाहरणे दिलेली आहेत.

       चक्रीय चौकोनांचे कर्ण परस्परांना लंब असतील तर त्या कर्णांच्या छेदन बिंदूतून एका बाजूवर काढलेली लंबरेषा ही त्या बाजूच्या समोरच्या बाजूला दुभागते.  हा ब्रह्मस्फुटसिद्धांत 

ग्रंथातील गुणधर्म हा H. S. M. Coxeter आणि S. L. Greitzer यांनी लिहिलेल्या Geometry Revisited या पुस्तकात आढळून येतो.

                 आचार्य ब्रह्मगुप्त यांचा उल्लेख भास्कराचार्यांच्या सिद्धांत शिरोमणी ग्रंथातही आहे.  सिद्धांत शिरोमणी हा ग्रंथ सन 1150 मध्ये लिहिला गेला. (म्हणजे ब्रह्मगुप्त यांच्यानंतर सुमारे सव्वापाचशे वर्षानंतर.) भास्कराचार्यांच्या सिद्धांत शिरोमणी ग्रंथातील बीजगणित विभागात जो ग्रंथ समाप्तीचा अध्याय आहे. त्यातील दुसऱ्या श्लोकात भास्कराचार्य असे म्हणतात की, श्रीधराचार्य, ब्रह्मगुप्त आणि पद्मनाभ यांनी बीजगणित विषयात खूपच सविस्तर काम केलेले आहे. आणि त्यांच्या बीजगणित कार्याचे सार मी या ग्रंथात संकलित करून बीजगणित हा ग्रंथ लिहिलेला आहे.

        आचार्य ब्राह्मगुप्तांनी त्यांच्या ग्रंथात उल्लेखित केलेला गुणधर्म पुढीलप्रमाणे:- जर चक्रीय चौकोणाच्या बाजूंची लांबी a, b, c आणि d असेल आणि s ही त्याची अर्ध परिमिती असेल तर त्या चौकोनाचे क्षेत्रफळ

√(s-a)(s-b)(s-c)(s-d).असते.

    आचार्य ब्राह्मगुप्त यांनी भूमितीचे ज्ञान खूप समृद्ध बनविले. अत्यंत थोर गणित परंपरा लाभलेल्या आपल्या भारतात अनेक महान गणितज्ञ होऊन गेले आहेत.याचा आपल्याला सार्थ अभिमान असला पाहिजे. गणित विषयामद्धे भारतीय ऋषीमुनींनी केलेल्या बहुमूल्य कामगिरीला जगात सर्वत्र गौरविण्यात येते. या परंपरेतील भारतीय गणितींना आपण विनम्र अभिवादन केलेच पाहिजे. प्राचीन काळी मुद्रणकला नव्हती, गणकयंत्रे, नव्हती, मोजमाप करण्याची प्रमाणित साधने उपलब्ध नव्हती,….. तरीही प्रसिद्धीपारांमुख राहून त्यांनी अत्यंत समृद्ध आणि बहुमूल्य काम केले आहे. आपल्या रोजच्या प्रत:स्मरणात ह्या थोर विभूतींचा गौरव करण्यात आला पाहिजे. त्यांनी घालून दिलेल्या परंपरांचा पाईक होण्याची पात्रता आपल्या अंगी यावी म्हणून आपण प्रयत्न केले पाहिजेत. हीच त्यांच्या योगदानाचा वाहिलेली हार्दिक श्रद्धांजली होय.

—